FIR濾波器工作原理

　　FIR濾波器工作原理 在進入FIR濾波器前，首先要將信號通過A/D器件進行模數轉換，把模擬信號轉化為數字信號;為了使信號處理能夠不發生失真，信號的采樣速度必須滿足奈奎斯特定理，一般取信號頻率上限的4-5倍做為采樣頻率;一般可用速度較高的逐次逼進式A/D轉換器，不論采用乘累加方法還是分布式算法設計FIR濾波器，濾波器輸出的數據都是一串序列，要使它能直觀地反應出來，還需經過數模轉換，因此由FPGA構成的FIR濾波器的輸出須外接D/A模塊。FPGA有著規整的內部邏輯陣列和豐富的連線資源，特別適合于數字信號處理任務，相對于串行運算為主導的通用DSP芯片來說，其并行性和可擴展性更好，利用FPGA乘累加的快速算法，可以設計出高速的FIR數字濾波器。

　　基本結構

　　FIR濾波器有以下幾種基本結構：

　　橫截型

　　(7.10)式的系統的差分方程表達式為

　　y(n)=∑h(m)x(n-m)　( 7.11)

　　很明顯，這就是線性時不變系統的卷積和公式，也是x (n)的延時鏈的橫向結構，如圖4-11所示，稱為橫截型結構或卷積型結構，也可稱為直接型結構。將轉置定理用于圖4-11，可得到圖4-12的轉置直接型結構。

　　圖7.11 FIR濾波器的橫截型結構

　　級聯型

　　將H (z)分解成實系數二階因子的乘積形式

　　其中[N/2]表示取N/2的整數部分。若N為偶數，則N—1為奇數，故系數B2K中有一個為零，這是因為，這時有奇數個根，其中復數根成共軛對必為偶數，必然有奇數個實根。圖7-13畫出N為奇數時，FIR濾波器的級聯結構，其中每一個二階因子用圖4-11的橫型結構。

　　這種結構的每一節控制一對零點，因而再需要控制傳輸零點時，可以采用它。但是這種結構所需要的系數B2k(I = 0，1，2，k，= 1，2，...，[N/2])比卷積型的系數h (n)要多，因而所需的乘法次數也比卷積型的要多。

　　圖9.13 FIR濾波器的級聯型結構

　　頻率抽樣

　　在第三章中已說過，把一個有限長序列(長度為N點)的z變換H (z)在單位圓上作N等分抽樣，就得到H (k)，其主值序列就等于h (n)的離散傅里葉變換H (k)。那里也說到用H (k)表示的H (z)的內插公式為(7.13)

　　這個公式就為FIR濾波器提供了另外一種結構，這種結構由兩部分級聯組成。(7.14)

　　其中級聯的第一部分為(7.15)

　　這是一個FIR子系統，是由N節延時單元構成的梳狀濾波器，令

　　則有

　　即Hc (z)在單位圓上有N個等間隔角度的零點，它的頻率響應為

　　因而幅度響應為

　　幅角為

　　其子網絡結構及頻率響應幅度。

　　級聯的第二部分為

　　它是由N個一階網絡并聯組成，而這每一個一階網絡都是一個諧振器

　　令H'k(z)的分母為零，即令

　　可得到此一階網絡在單位圓上有一個極點

　　梳狀濾波器結構及頻率響應幅度

　   FIR濾波器的頻率抽樣型結構

　　也就是說：此一階網絡在頻率為

　　處響應為無窮大，故等效于諧振頻率為2πk / N的無損耗諧振器。這個諧振器的極點正好與梳狀濾波器的一個零點(I = k)相抵消，從而使這個頻率(ω= 2πk / N)上的頻率響應等于H (k)。這樣，N個諧振器的N個極點就和梳狀濾波器的N個零點相互抵消，從而在N個頻率抽樣點上(ω= 2πk / N，k = 0，1，...，N —1)的頻率響應就分別等于N個H (k)值。

　　N個并聯諧振器與梳狀濾波器級聯后，就得到圖7.15的頻率抽樣結構。

　　頻率抽樣結構的特點是它的系數H (k)就是濾波器在ω= 2πk / N處的響應，因此控制濾波器的頻率響應很方便。但是結構中所乘的系數H (k)及WN都是復數，增加了乘法次數和存儲量，而且所有極點都在單位圓上，由系數WN決定，這樣，當系數量化時，這些極點會移動，有些極點就不能被梳狀濾波器的零點所抵消(零點由延時單元決定，不受量化的影響)。系統就不穩定了。

　　為了克服系數量化后可能不穩定的缺點，可以將頻率抽樣結構做一點修正，即將所有零、極點都移到單位圓內某一靠近單位圓、半徑為r (r小于或近似等于1)的圓上(r為正實數)。[1]

　　快速卷積

　　前一章談到，只要將兩個有限長序列補上一定的零值點，就可以用圓周卷積來代替兩序列的線性卷積。由于時域的圓周卷積，等效到頻域則為離散傅立葉變換的乘積。因而，如果

　　即將輸入x (n)補上L—N1個零值點，將有限長單位沖激響應h (n)補上L—N2個零值點，只要滿足L >= N1 + N2—1，則L點的圓周卷積就能代表線性卷積，即

　　用DFT表示，則有

　　Y(k) =X(k)H(k)

　　因而有

　　其中

　　Y(k) = DFT[y (n)]，L點

　　X(k) = DFT[x(n)]，L點

　　H(k) = DFT[h (n)]，L點

　　這樣，我們就可得到圖7.16的快速卷積結構，當N1，N2足夠長時，它比直接計算線性卷積要快得多。這里計算DFY和IDFT都采用快速傅立葉變換計算方法。

　　FIR濾波器硬件分類

　　FIR濾波器的硬件實現有以下幾種方式：

　　集成電路

　　一種是使用單片通用數字濾波器集成電路，這種電路使用簡單，但是由于字長和階數的規格較少，不易完全滿足實際需要。雖然可采用多片擴展來滿足要求，但會增加體積和功耗，因而在實際應用中受到限制。

　　DSP芯片

　　另一種是使用DSP芯片。DSP芯片有專用的數字信號處理函數可調用，或者根據芯片指令集的結構自行設計代碼實現FIR的功能;由于FIR設計時其系數計算及其量化比較復雜，因此一般都采用MATLAB軟件作為輔助設計，計算出FIR的系數;然后進行代碼設計實現。實現FIR濾波器相對簡單，但是由于

　　程序順序執行，速度受到限制。而且，就是同一公司的不同系統的DSP芯片，其編程指令也會有所不同，開發周期較長。

　　可編程

　　還有一種是使用可編程邏輯器件，FPGA/CPLD。FPGA有著規則的內部邏輯塊陣列和豐富的連線資源，特別適合用于細粒度和高并行度結構的FIR濾波器的實現，相對于串行運算主導的通用DSP芯片來說，并行性和可擴展性都更好。

　　特點

　　有限長單位沖激響應(FIR)濾波器有以下特點：

　　(1) 系統的單位沖激響應h (n)在有限個n值處不為零

　　(2) 系統函數H(z)在|z|>0處收斂，極點全部在z = 0處(因果系統)

　　(3) 結構上主要是非遞歸結構，沒有輸出到輸入的反饋，但有些結構中(例如頻率抽樣結構)也包含有反饋的遞歸部分。

　　設FIR濾波器的單位沖激響應h (n)為一個N點序列，0 ≤ n ≤N —1，則濾波器的系統函數為

　　H(z)=∑h(n)*z^-

　　就是說，它有(N—1)階極點在z = 0處，有(N—1)個零點位于有限z平面的任何位置。

　　FIR濾波器音頻應用

　　隨著個人音頻的發展，曾經的IIR濾波器處理音頻帶來的音質劣化越來越受市場排斥。原有的IIR雖然具有簡單，算量小，使用方便的特點，但精度并不足夠，所以在專業音頻，很多有FIR 4096的音頻算法，例如拉脫維亞的Coneq等。

　　相反的WFIR濾波器

　　為彌補FIR在低分辨率下低頻處理不佳，部分音頻算法使用了相反的WFIR濾波器。與FIR相反，WFIR對低頻處理較好，而對高頻無效。而每個工作點算量使用達到FIR的6倍。

　　FIR用于音頻的優勢

　　FIR的優勢在于可以無限增加精度(在足夠運算能力的前提下)，并且不存在IIR濾波器的相位精度問題，是目前比較高端的解決方案

　　FIR濾波器劣勢

　　1：因為采用的精度很高，所以對計算資源和內存、功耗的使用更高;

　　2：FIR在其他領域主要解決高頻問題，在音頻應用常常遇到1Khz以下的信號，FIR至少需要FIR 512才能對1K以下產生作用

　　3：過分運算，因為FIR每個處理單元寬度不能調整，因此在解決低頻問題時，高頻會出現過分運算的情況。

　　新的解決方案

　　包括FIR與IIR的混合使用，以及新型研發的音頻專用VIR濾波器。